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3.円の方程式と三角関数




<例題1> 2点 A ( 3 , 4 ) , B ( 5 , - 2 ) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。


解答例:

:直径 A B の中点が円の中心になる.中心の座標を求めると,

( 3 + 5 2 , 4 + ( - 2 ) 2 ) = ( 4 , 1 )

よって, ( x - 4 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = r 2 とおける.点 A ( 3 , 4 ) を通るので,

( 3 - 4 ) 2 + ( 4 - 1 ) 2 = r 2 より, r 2 = 10

よって, ( x - 4 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 10




<例題2>第2象限の角 θ に対して, sin θ = 5 6 である. cos θ tan θ の値を求めよ.


解答例: sin 2 θ + cos 2 θ = 1 より, cos 2 θ = 1 - 25 36 = 11 36

θ は第2象限の角だから, cos θ < 0

よって, cos θ = - 11 6

tan θ = sin θ cos θ より, tan θ = 5 6 - 11 6 = - 5 11




<例題3>△ABCで a = 6 , b = 2 3 , c = 3 + 3 のとき,∠ A を求めよ.


解答例:

余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos A に代入して

6 = 12 + 9 + 6 3 + 3 - 4 3 ( 3 + 3 ) cos A

4 3 ( 3 + 3 ) cos A = 18 + 6 3

したがって, cos A = 18 + 6 3 4 3 ( 3 + 3 ) = 6 ( 3 + 3 ) 4 3 ( 3 + 3 ) = 3 2 3 = 3 2

0 < A < π より, A = π 6