＜例題１＞次の左辺の分数式を，右辺の分数式の和で表せ．(
a
,
b
の値を定めよ)
このような変形を，「部分分数に分解する」という．
1
x
2
+
x
-
6
=
a
x
-
2
+
b
x
+
3
解答例：
x
2
+
x
-
6
=
(
x
-
2
)
(
x
+
3
)
だから，両辺に
(
x
-
2
)
(
x
+
3
)
をかけると，
1
=
a
(
x
+
3
)
+
b
(
x
-
2
)
・・・(1)
(1)式に
x
=
2
,
-
3
を代入すると，
1
=
5
a
,
1
=
-
5
b
より，
a
=
1
5
,
b
=
-
1
5
または，(1)式の右辺を展開して整理すると，
1
=
(
a
+
b
)
x
+
(
3
a
-
2
b
)
両辺の係数を比較すると
a
+
b
=
0
,
3
a
-
2
b
=
1
連立方程式を解くと，
a
=
1
5
,
b
=
-
1
5
したがって，
1
x
2
+
x
-
6
=
1
5
(
1
x
-
2
-
1
x
+
3
)
＜例題２＞
x
4
-
2
x
3
+
2
x
2
-
x
-
6
を因数分解せよ.
解答例：
f
(
x
)
=
x
4
-
2
x
3
+
2
x
2
-
x
-
6
とおく．
f
(
1
)
≠
0
,
f
(
-
1
)
=
1
+
2
+
2
+
1
-
6
=
0
だから，
f
(
x
)
は
(
x
+
1
)
で割り切れる．実際に割り算をすると，
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
(
x
3
-
3
x
2
+
5
x
-
6
)
となる．
次に
g
(
x
)
=
x
3
-
3
x
2
+
5
x
-
6
とおく．
g
(
-
1
)
≠
0
,
g
(
2
)
=
8
-
12
+
10
-
6
=
0
より，
g
(
x
)
は
(
x
-
2
)
で割り切れる．実際に割り算をすると，
g
(
x
)
=
(
x
-
2
)
(
x
2
-
x
+
3
)
となる．
よって
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
×
g
(
x
)
=
(
x
+
1
)
(
x
-
2
)
(
x
2
-
x
+
3
)
(
x
2
-
x
+
3
)
は実数の範囲では因数分解できないので，通常はここまででよい．
＜例題３＞
a
,
b
が正の数のとき，次の不等式を証明せよ．また，等号が成立するのはどのような場合か．
(1)
a
+
b
2
≧
a
b
(2)
a
+
1
a
≧
2
解答：
(1)(左辺)-(右辺)
=
a
+
b
2
-
a
b
=
a
+
b
-
2
a
b
2
=
(
a
-
b
)
2
2
≧
0
等号成立は，
a
-
b
=
0
のとき，つまり
a
=
b
のとき．
この不等式の左辺を「相加平均」，右辺を「相乗平均」という．
(2)(左辺)-(右辺)
=
a
+
1
a
-
2
=
a
2
+
1
-
2
a
a
=
(
a
-
1
)
2
a
≧
0
等号成立は，
a
=
1
のとき．
この不等式は(1)を利用して証明してもよい．
b
>
0
より，(1)の
b
に
1
a
を代入すると，
a
+
1
a
2
≧
a
×
1
a
両辺を２倍すると，
a
+
1
a
≧
2
1
よって，
a
+
1
a
≧
2
等号成立は，
a
=
1
a
のとき，つまり
a
2
=
1
のとき．
a
>
0
だから，
a
=
1
のとき．