方程式を使わない楕円・双曲線の説明
１. 楕円
楕円とは、円を押しつぶしたような下図のような形である。日常生活の中でも、
① 
長ねぎ等の根菜や、竹をななめに切った時の切り口、
② コップに入った水を少し傾けた時の水面、
③ ボールが太陽光やスポットライトで照らされた時の影、
④ 懐中電灯で地面を照らした時の明るい部分
⑤ 平面上の円を斜め方向から眺めた時
といろんな場面で出会う身近な曲線である。それだけに紀元前の昔からよく調べられていて、いろいろな特徴づけがなされている。そのうち最も重要といってよいのが、焦点の存在である。すなわち楕円の内部には焦点と呼ばれる２つの点があり、それらから楕円の周上の点までの距離の和が一定になっているのである。そのことを例①の円柱の平面での切り口で示してみよう。
この円柱に内接する２つの球B１とB２をこの平面の左右から入れて、平面に接するまで押し込むとそれぞれの球が下図のように切り口の内部にある点F１とF２で接するとしてよい。
切り口上の勝手な点をPとし、球B１とB２と円柱が接する円と点Pを通る母線との交点をP１とP２とすれば、球外の一点から球に引いた2つの接線の長さは等しいので、線分PF１とPF２の長さの和を考えると
PF１+ PF２= PP１+ PP２= P１P２=（球B１とB２の接する２円の間隔で一定）
が示せる。
この性質を持つ図形が楕円と呼ばれる。
定義 2定点（焦点= focusという）からの距離の和が一定値である点が描く図形を楕円という。もちろんその一定値は焦点の間隔より大きくなければならない。なお、2焦点を結ぶ線分を楕円と交わるまで延長した線分を長軸、長軸の垂直2等分線で楕円内にある線分を短軸という。
円柱を平面で切断した際の議論は円錐を平面で切った時に現れる切断面にも通用でき、例②から④もすべて上の楕円の定義を満たす事がわかる（ダンデリンの定理。円錐に内接する球で平面にも接するものを2つ考え、切り口上の点から平面との2接点までの距離が、切り口上の点から2球の内接している円までの距離に等しいことを使う。長軸の長さは2球の内接している2円の円錐内での間隔に等しい）。
楕円を定義に従って描くのは易しく、紐の両端を２焦点の位置に固定し、紐がピンと張るようにして鉛筆やチョークを動かせばよい。例えば地面に正確に描くには、焦点の上に円柱状の２本の杭を打ち、紐の両端にその杭が入るような輪を作り、紐を引っ掛けてピンと引っ張った時の点の位置を記録すればよい。黒板の上のような所でも、角材の両端に短い円柱を接着した下図のような道具を作れば、紐の輪を円柱に引っ掛けた状態で片手で角材を固定し、残る片手で紐をピンと張れば同様に楕円が描ける。
楕円の形は、長軸の長さと短軸の長さで決まるが、上の構成法からは２焦点の間隔と紐の長さで決まるともいえる。両者の関係は、下の楕円上の点が2焦点を結び延長してできる軸(長軸)上にある場合と，短軸上にある場合の，下図で示された2つの場合を考えると、次の(i)と(ii)で表されることが良くわかる。
長軸上にある場合 短軸上にある場合
(ii) 焦点の１つ，中心，短軸の端点の3点は，斜辺が紐の長さの半分である直角三角形をなす
なお、座標平面での楕円の標準形であるx2 /a2 + y2 /b2 =1では、長軸と短軸は、座標軸に重なっていてそれらの長さである2aと2bのいずれかであり、2焦点の間隔には記号2cが使用されるので、性質(ii)を表す等式はa2 =b2 + c2 とb2 =a2 + c2 のいずれかで表される。
そして､2定点がなぜ焦点と呼ばれるかは、一つの焦点から出発した光が楕円で反射されるともう一つの焦点へと向うという次の性質によっている。
双曲線は、直角双曲線といわれる反比例のグラフ（y = a/x
aは正の定数）を一つの例とする、次のような形の曲線である。ただし、見やすくするためグラフを45度時計回りに回転し、座標軸を破線で表した。
② カクテルグラス（円錐状のコップ）を約90度傾けて水に漬けたときの容器と水面との境界
③ 懐中電灯をほぼ水平にし照らした時の地面の明るい部分の境界線
④ 地面に垂直に建てられた塔の先端部分の、太陽による地面への影が1日になす曲線
定義 2定点F1，F2（焦点= focusという）からの距離の差が一定値である点が描く図形を双曲線という。ただしその一定値は焦点の間隔未満でなければならない。というのは、3点PとF1，F2を結んで3角形が生じるためには三角不等式より｜PF２－PF１｜＜F1F2 が必要だからである。なお、2焦点を結ぶ線分が双曲線と交わる2点を結んだ線分を主軸という。
まず、色付き紐と、半分の長さの所に目印(ねじりん棒という名のついたテープ状の針金が適する)を付けた長い白紐を用意し、両者を下図のように結び両端に指の入る程度の輪を作る。ただし色付き紐が図では太線になっている。
楕円の章で触れた道具等を用いて補助者に両端の輪を2焦点F1，F2に固定してもらい、白紐の目印を持ちピンと張ると、目印を持つ手の位置を表す点Pは PF２－PF１= (色付き紐の長さ) を満たす。ただし、遠い方の焦点をF２近い方をF１とした。点Pを動かすために、チョークが入る小さなリングを用意し、目印で折れている白紐を目印からリングにくぐらせて2本を同じ分量ずつゆっくり引き出す。その際に、リングにチョークを入れてリングの位置Pを記録するようにすれば、Pは PF２－PF１= (色付き紐の長さ) を満たしながら中心に近づき、線分F1F2上では結び目と点F１との中点に来る。この結果双曲線の1/4が出来上がる。F1，F2を入れ替え同様にすれば、1/2が出来て(i)同様、下図より次の等式(iii)を得る。
(iii) 色付き紐の長さ＝主軸の長さ（双曲線は描き方から左右対称なので、主軸の延長線上で紐が余計な部分は主軸上の紐の通ってない部分と長さが等しい。よってそれらは移植可能）
次に、漸近線や、楕円における(ii)に相当する直角三角形も、自然に作図される事を以下に記そう。
色付き紐と白紐の結び目をQとすると、Pの決め方からPQ = P F１で 3角形PQ F１は二等辺3角形であり、∠PQF１=∠PF１Q。白紐の長さを限りなく大きくして行くことを考えると、3角形PQF１の等辺は平行な2本の半直線となる(太陽から来る光が平行光線とみなせるようなもの)。そこで白紐の長さが無限大の時の、PをP∞，QをQ∞とすると、∠P∞Q∞F１と∠P∞F１Q∞は等しく、かつ平行線に関する性質よりたして180度でもあるので両者は直角であり，∠F１Q∞F２も直角と分かる(Q∞の位置はF１中心で色付き紐の長さを半径とする円へと引いた接線の接点であり、前記円とF1F2を直径とする円との交点として作図される)。
(iv) 点F１と中心O、そしてF２中心で色付き紐の長さを半径とする円へとF１から引いた接線の中点
M∞(主軸を直径とする円とO F１を直径とする円との交点)は、O F１が斜辺の直角3角形をなす
なお、座標平面での楕円の標準形であるx2 /a2－ y2 /b2 = ±1では、主軸は、x軸かy軸に重なっていてそれらの長さは2aと2bのいずれかであり、2焦点の間隔に文字2cを使えば、3角形OF1 M∞の3辺はa, b, c なので性質(iv)はc2 = a2 + b2 で表され、OM∞の傾きがb/aである事から漸近線がy =±(b/a)xになる事もわかる。
楕円の場合と同様に次の定理が成立し、一つの焦点から出た光は双曲線で反射されて、もう一つの焦点から出た光のように見える事も双曲線の焦点の重要な性質である。
なので点Rが双曲線の定義を満たさず（外部と呼ばれる中心を含む領域にある）、F１Qの垂直2等分線は1点Pでのみ双曲線と共有点を持つからである。従ってF１Qでの垂直2等分線でもある点Pでの接線は、∠QP F１を2等分し、線分PF１とPF２のそれぞれと等しい角をなすことがわかる。